3.79 \(\int \frac {(a+b \tan (e+f x)) (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x))}{(c+d \tan (e+f x))^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=292 \[ \frac {(b c-a d) \left (A d^2-B c d+c^2 C\right )}{d^2 f \left (c^2+d^2\right ) (c+d \tan (e+f x))}-\frac {\log (\cos (e+f x)) \left (-A \left (2 a c d-b \left (c^2-d^2\right )\right )+a \left (B c^2-B d^2+2 c C d\right )-b \left (-2 B c d+c^2 C-C d^2\right )\right )}{f \left (c^2+d^2\right )^2}-\frac {x \left (a \left (-A \left (c^2-d^2\right )-2 B c d+c^2 C-C d^2\right )-b \left (2 c d (A-C)-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right )}{\left (c^2+d^2\right )^2}+\frac {\left (a d^2 \left (2 c d (A-C)-B \left (c^2-d^2\right )\right )+b \left (-c^2 d^2 (A-3 C)+A d^4-2 B c d^3+c^4 C\right )\right ) \log (c+d \tan (e+f x))}{d^2 f \left (c^2+d^2\right )^2} \]

[Out]

-(a*(c^2*C-2*B*c*d-C*d^2-A*(c^2-d^2))-b*(2*c*(A-C)*d-B*(c^2-d^2)))*x/(c^2+d^2)^2-(a*(B*c^2-B*d^2+2*C*c*d)-b*(-
2*B*c*d+C*c^2-C*d^2)-A*(2*a*c*d-b*(c^2-d^2)))*ln(cos(f*x+e))/(c^2+d^2)^2/f+(b*(c^4*C-c^2*(A-3*C)*d^2-2*B*c*d^3
+A*d^4)+a*d^2*(2*c*(A-C)*d-B*(c^2-d^2)))*ln(c+d*tan(f*x+e))/d^2/(c^2+d^2)^2/f+(-a*d+b*c)*(A*d^2-B*c*d+C*c^2)/d
^2/(c^2+d^2)/f/(c+d*tan(f*x+e))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.55, antiderivative size = 288, normalized size of antiderivative = 0.99, number of steps used = 5, number of rules used = 5, integrand size = 43, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.116, Rules used = {3635, 3626, 3617, 31, 3475} \[ \frac {(b c-a d) \left (A d^2-B c d+c^2 C\right )}{d^2 f \left (c^2+d^2\right ) (c+d \tan (e+f x))}+\frac {\left (a d^2 \left (2 c d (A-C)-B \left (c^2-d^2\right )\right )+b \left (-c^2 d^2 (A-3 C)+A d^4-2 B c d^3+c^4 C\right )\right ) \log (c+d \tan (e+f x))}{d^2 f \left (c^2+d^2\right )^2}+\frac {\log (\cos (e+f x)) \left (2 a A c d-a B \left (c^2-d^2\right )-2 a c C d-A b \left (c^2-d^2\right )+b \left (-2 B c d+c^2 C-C d^2\right )\right )}{f \left (c^2+d^2\right )^2}-\frac {x \left (a \left (-A \left (c^2-d^2\right )-2 B c d+c^2 C-C d^2\right )-b \left (2 c d (A-C)-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right )}{\left (c^2+d^2\right )^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((a + b*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^2,x]

[Out]

-(((a*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2 - A*(c^2 - d^2)) - b*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*x)/(c^2 + d^2)^2) + ((2*a
*A*c*d - 2*a*c*C*d - A*b*(c^2 - d^2) - a*B*(c^2 - d^2) + b*(c^2*C - 2*B*c*d - C*d^2))*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2
+ d^2)^2*f) + ((b*(c^4*C - c^2*(A - 3*C)*d^2 - 2*B*c*d^3 + A*d^4) + a*d^2*(2*c*(A - C)*d - B*(c^2 - d^2)))*Lo
g[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^2*(c^2 + d^2)^2*f) + ((b*c - a*d)*(c^2*C - B*c*d + A*d^2))/(d^2*(c^2 + d^2)*f*(c + d
*Tan[e + f*x]))

Rule 31

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(-1), x_Symbol] :> Simp[Log[RemoveContent[a + b*x, x]]/b, x] /; FreeQ[{a, b}, x]

Rule 3475

Int[tan[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[Log[RemoveContent[Cos[c + d*x], x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 3617

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_) + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Dist[
A/(b*f), Subst[Int[(a + x)^m, x], x, b*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m}, x] && EqQ[A, C]

Rule 3626

Int[((A_) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*
(x_)]), x_Symbol] :> Simp[((a*A + b*B - a*C)*x)/(a^2 + b^2), x] + (Dist[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/(a^2 + b^2), I
nt[(1 + Tan[e + f*x]^2)/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] - Dist[(A*b - a*B - b*C)/(a^2 + b^2), Int[Tan[e + f*x], x
], x]) /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[A*b - a
*B - b*C, 0]

Rule 3635

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e
_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[((b*c - a*d)*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*
(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(d^2*f*(n + 1)*(c^2 + d^2)), x] + Dist[1/(d*(c^2 + d^2)), Int[(c + d*Tan[e + f*x
])^(n + 1)*Simp[a*d*(A*c - c*C + B*d) + b*(c^2*C - B*c*d + A*d^2) + d*(A*b*c + a*B*c - b*c*C - a*A*d + b*B*d +
a*C*d)*Tan[e + f*x] + b*C*(c^2 + d^2)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[n, -1]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {(a+b \tan (e+f x)) \left (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x)\right )}{(c+d \tan (e+f x))^2} \, dx &=\frac {(b c-a d) \left (c^2 C-B c d+A d^2\right )}{d^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))}+\frac {\int \frac {a d (A c-c C+B d)+b \left (c^2 C-B c d+A d^2\right )+d (A b c+a B c-b c C-a A d+b B d+a C d) \tan (e+f x)+b C \left (c^2+d^2\right ) \tan ^2(e+f x)}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{d \left (c^2+d^2\right )}\\ &=-\frac {\left (a \left (c^2 C-2 B c d-C d^2-A \left (c^2-d^2\right )\right )-b \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) x}{\left (c^2+d^2\right )^2}+\frac {(b c-a d) \left (c^2 C-B c d+A d^2\right )}{d^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))}-\frac {\left (2 a A c d-2 a c C d-A b \left (c^2-d^2\right )-a B \left (c^2-d^2\right )+b \left (c^2 C-2 B c d-C d^2\right )\right ) \int \tan (e+f x) \, dx}{\left (c^2+d^2\right )^2}+\frac {\left (b \left (c^4 C-c^2 (A-3 C) d^2-2 B c d^3+A d^4\right )+a d^2 \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) \int \frac {1+\tan ^2(e+f x)}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{d \left (c^2+d^2\right )^2}\\ &=-\frac {\left (a \left (c^2 C-2 B c d-C d^2-A \left (c^2-d^2\right )\right )-b \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) x}{\left (c^2+d^2\right )^2}+\frac {\left (2 a A c d-2 a c C d-A b \left (c^2-d^2\right )-a B \left (c^2-d^2\right )+b \left (c^2 C-2 B c d-C d^2\right )\right ) \log (\cos (e+f x))}{\left (c^2+d^2\right )^2 f}+\frac {(b c-a d) \left (c^2 C-B c d+A d^2\right )}{d^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))}+\frac {\left (b \left (c^4 C-c^2 (A-3 C) d^2-2 B c d^3+A d^4\right )+a d^2 \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{c+x} \, dx,x,d \tan (e+f x)\right )}{d^2 \left (c^2+d^2\right )^2 f}\\ &=-\frac {\left (a \left (c^2 C-2 B c d-C d^2-A \left (c^2-d^2\right )\right )-b \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) x}{\left (c^2+d^2\right )^2}+\frac {\left (2 a A c d-2 a c C d-A b \left (c^2-d^2\right )-a B \left (c^2-d^2\right )+b \left (c^2 C-2 B c d-C d^2\right )\right ) \log (\cos (e+f x))}{\left (c^2+d^2\right )^2 f}+\frac {\left (b \left (c^4 C-c^2 (A-3 C) d^2-2 B c d^3+A d^4\right )+a d^2 \left (2 c (A-C) d-B \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) \log (c+d \tan (e+f x))}{d^2 \left (c^2+d^2\right )^2 f}+\frac {(b c-a d) \left (c^2 C-B c d+A d^2\right )}{d^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 6.78, size = 606, normalized size = 2.08 \[ \frac {-2 i c \tan ^{-1}(\tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x)) \left (a d^2 \left (2 c d (A-C)+B \left (d^2-c^2\right )\right )+b \left (-c^2 d^2 (A-3 C)+A d^4-2 B c d^3+c^4 C\right )\right )+c^2 \left (2 (c+i d)^2 (e+f x) \left (a d^2 (A-i B-C)+b \left (d^2 (-B-i A)+i c^2 C+2 c C d\right )\right )+\left (a d^2 \left (2 c d (A-C)+B \left (d^2-c^2\right )\right )+b \left (-c^2 d^2 (A-3 C)+A d^4-2 B c d^3+c^4 C\right )\right ) \log \left ((c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))^2\right )-2 b C \left (c^2+d^2\right )^2 \log (\cos (e+f x))\right )+d \tan (e+f x) \left (c \left (a d^2 \left (2 c d (A-C)+B \left (d^2-c^2\right )\right )+b \left (-c^2 d^2 (A-3 C)+A d^4-2 B c d^3+c^4 C\right )\right ) \log \left ((c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))^2\right )+2 (c+i d) \left (a d \left (-c^2 d (-A (e+f x)+B (i e+i f x+1)+C (e+f x+i))+c d^2 (A (i e+i f x+1)+B (e+f x+i)-i C (e+f x))-i A d^3+c^3 C\right )+b c \left (-i c d^2 (A (e+f x-i)-i B (e+f x+i)-2 C (e+f x))+d^3 (A (e+f x+i)-i B (e+f x))+c^2 d (B+C (e+f x+i))+i c^3 C (e+f x+i)\right )\right )-2 b c C \left (c^2+d^2\right )^2 \log (\cos (e+f x))\right )}{2 c d^2 f \left (c^2+d^2\right )^2 (c+d \tan (e+f x))} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[((a + b*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(c + d*Tan[e + f*x])^2,x]

[Out]

(c^2*(2*(c + I*d)^2*(a*(A - I*B - C)*d^2 + b*(I*c^2*C + 2*c*C*d + ((-I)*A - B)*d^2))*(e + f*x) - 2*b*C*(c^2 +
d^2)^2*Log[Cos[e + f*x]] + (b*(c^4*C - c^2*(A - 3*C)*d^2 - 2*B*c*d^3 + A*d^4) + a*d^2*(2*c*(A - C)*d + B*(-c^2
+ d^2)))*Log[(c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x])^2]) + d*(2*(c + I*d)*(b*c*(I*c^3*C*(I + e + f*x) + d^3*((-I)*B
*(e + f*x) + A*(I + e + f*x)) - I*c*d^2*(-2*C*(e + f*x) + A*(-I + e + f*x) - I*B*(I + e + f*x)) + c^2*d*(B + C
*(I + e + f*x))) + a*d*(c^3*C - I*A*d^3 + c*d^2*(A*(1 + I*e + I*f*x) - I*C*(e + f*x) + B*(I + e + f*x)) - c^2*
d*(B*(1 + I*e + I*f*x) - A*(e + f*x) + C*(I + e + f*x)))) - 2*b*c*C*(c^2 + d^2)^2*Log[Cos[e + f*x]] + c*(b*(c^
4*C - c^2*(A - 3*C)*d^2 - 2*B*c*d^3 + A*d^4) + a*d^2*(2*c*(A - C)*d + B*(-c^2 + d^2)))*Log[(c*Cos[e + f*x] + d
*Sin[e + f*x])^2])*Tan[e + f*x] - (2*I)*c*(b*(c^4*C - c^2*(A - 3*C)*d^2 - 2*B*c*d^3 + A*d^4) + a*d^2*(2*c*(A -
C)*d + B*(-c^2 + d^2)))*ArcTan[Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan[e + f*x]))/(2*c*d^2*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*
x]))

________________________________________________________________________________________

fricas [A]  time = 0.65, size = 505, normalized size = 1.73 \[ \frac {2 \, C b c^{3} d^{2} - 2 \, A a d^{5} - 2 \, {\left (C a + B b\right )} c^{2} d^{3} + 2 \, {\left (B a + A b\right )} c d^{4} + 2 \, {\left ({\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} c^{3} d^{2} + 2 \, {\left (B a + {\left (A - C\right )} b\right )} c^{2} d^{3} - {\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} c d^{4}\right )} f x + {\left (C b c^{5} - {\left (B a + {\left (A - 3 \, C\right )} b\right )} c^{3} d^{2} + 2 \, {\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} c^{2} d^{3} + {\left (B a + A b\right )} c d^{4} + {\left (C b c^{4} d - {\left (B a + {\left (A - 3 \, C\right )} b\right )} c^{2} d^{3} + 2 \, {\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} c d^{4} + {\left (B a + A b\right )} d^{5}\right )} \tan \left (f x + e\right )\right )} \log \left (\frac {d^{2} \tan \left (f x + e\right )^{2} + 2 \, c d \tan \left (f x + e\right ) + c^{2}}{\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1}\right ) - {\left (C b c^{5} + 2 \, C b c^{3} d^{2} + C b c d^{4} + {\left (C b c^{4} d + 2 \, C b c^{2} d^{3} + C b d^{5}\right )} \tan \left (f x + e\right )\right )} \log \left (\frac {1}{\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1}\right ) - 2 \, {\left (C b c^{4} d - A a c d^{4} - {\left (C a + B b\right )} c^{3} d^{2} + {\left (B a + A b\right )} c^{2} d^{3} - {\left ({\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} c^{2} d^{3} + 2 \, {\left (B a + {\left (A - C\right )} b\right )} c d^{4} - {\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} d^{5}\right )} f x\right )} \tan \left (f x + e\right )}{2 \, {\left ({\left (c^{4} d^{3} + 2 \, c^{2} d^{5} + d^{7}\right )} f \tan \left (f x + e\right ) + {\left (c^{5} d^{2} + 2 \, c^{3} d^{4} + c d^{6}\right )} f\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*(2*C*b*c^3*d^2 - 2*A*a*d^5 - 2*(C*a + B*b)*c^2*d^3 + 2*(B*a + A*b)*c*d^4 + 2*(((A - C)*a - B*b)*c^3*d^2 +
2*(B*a + (A - C)*b)*c^2*d^3 - ((A - C)*a - B*b)*c*d^4)*f*x + (C*b*c^5 - (B*a + (A - 3*C)*b)*c^3*d^2 + 2*((A -
C)*a - B*b)*c^2*d^3 + (B*a + A*b)*c*d^4 + (C*b*c^4*d - (B*a + (A - 3*C)*b)*c^2*d^3 + 2*((A - C)*a - B*b)*c*d^4
+ (B*a + A*b)*d^5)*tan(f*x + e))*log((d^2*tan(f*x + e)^2 + 2*c*d*tan(f*x + e) + c^2)/(tan(f*x + e)^2 + 1)) -
(C*b*c^5 + 2*C*b*c^3*d^2 + C*b*c*d^4 + (C*b*c^4*d + 2*C*b*c^2*d^3 + C*b*d^5)*tan(f*x + e))*log(1/(tan(f*x + e)
^2 + 1)) - 2*(C*b*c^4*d - A*a*c*d^4 - (C*a + B*b)*c^3*d^2 + (B*a + A*b)*c^2*d^3 - (((A - C)*a - B*b)*c^2*d^3 +
2*(B*a + (A - C)*b)*c*d^4 - ((A - C)*a - B*b)*d^5)*f*x)*tan(f*x + e))/((c^4*d^3 + 2*c^2*d^5 + d^7)*f*tan(f*x
+ e) + (c^5*d^2 + 2*c^3*d^4 + c*d^6)*f)

________________________________________________________________________________________

giac [A]  time = 6.68, size = 528, normalized size = 1.81 \[ \frac {\frac {2 \, {\left (A a c^{2} - C a c^{2} - B b c^{2} + 2 \, B a c d + 2 \, A b c d - 2 \, C b c d - A a d^{2} + C a d^{2} + B b d^{2}\right )} {\left (f x + e\right )}}{c^{4} + 2 \, c^{2} d^{2} + d^{4}} + \frac {{\left (B a c^{2} + A b c^{2} - C b c^{2} - 2 \, A a c d + 2 \, C a c d + 2 \, B b c d - B a d^{2} - A b d^{2} + C b d^{2}\right )} \log \left (\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1\right )}{c^{4} + 2 \, c^{2} d^{2} + d^{4}} + \frac {2 \, {\left (C b c^{4} - B a c^{2} d^{2} - A b c^{2} d^{2} + 3 \, C b c^{2} d^{2} + 2 \, A a c d^{3} - 2 \, C a c d^{3} - 2 \, B b c d^{3} + B a d^{4} + A b d^{4}\right )} \log \left ({\left | d \tan \left (f x + e\right ) + c \right |}\right )}{c^{4} d^{2} + 2 \, c^{2} d^{4} + d^{6}} - \frac {2 \, {\left (C b c^{4} \tan \left (f x + e\right ) - B a c^{2} d^{2} \tan \left (f x + e\right ) - A b c^{2} d^{2} \tan \left (f x + e\right ) + 3 \, C b c^{2} d^{2} \tan \left (f x + e\right ) + 2 \, A a c d^{3} \tan \left (f x + e\right ) - 2 \, C a c d^{3} \tan \left (f x + e\right ) - 2 \, B b c d^{3} \tan \left (f x + e\right ) + B a d^{4} \tan \left (f x + e\right ) + A b d^{4} \tan \left (f x + e\right ) + C a c^{4} + B b c^{4} - 2 \, B a c^{3} d - 2 \, A b c^{3} d + 2 \, C b c^{3} d + 3 \, A a c^{2} d^{2} - C a c^{2} d^{2} - B b c^{2} d^{2} + A a d^{4}\right )}}{{\left (c^{4} d + 2 \, c^{2} d^{3} + d^{5}\right )} {\left (d \tan \left (f x + e\right ) + c\right )}}}{2 \, f} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

1/2*(2*(A*a*c^2 - C*a*c^2 - B*b*c^2 + 2*B*a*c*d + 2*A*b*c*d - 2*C*b*c*d - A*a*d^2 + C*a*d^2 + B*b*d^2)*(f*x +
e)/(c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4) + (B*a*c^2 + A*b*c^2 - C*b*c^2 - 2*A*a*c*d + 2*C*a*c*d + 2*B*b*c*d - B*a*d^2 - A*b*
d^2 + C*b*d^2)*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/(c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4) + 2*(C*b*c^4 - B*a*c^2*d^2 - A*b*c^2*d^2 + 3*C*
b*c^2*d^2 + 2*A*a*c*d^3 - 2*C*a*c*d^3 - 2*B*b*c*d^3 + B*a*d^4 + A*b*d^4)*log(abs(d*tan(f*x + e) + c))/(c^4*d^2
+ 2*c^2*d^4 + d^6) - 2*(C*b*c^4*tan(f*x + e) - B*a*c^2*d^2*tan(f*x + e) - A*b*c^2*d^2*tan(f*x + e) + 3*C*b*c^
2*d^2*tan(f*x + e) + 2*A*a*c*d^3*tan(f*x + e) - 2*C*a*c*d^3*tan(f*x + e) - 2*B*b*c*d^3*tan(f*x + e) + B*a*d^4*
tan(f*x + e) + A*b*d^4*tan(f*x + e) + C*a*c^4 + B*b*c^4 - 2*B*a*c^3*d - 2*A*b*c^3*d + 2*C*b*c^3*d + 3*A*a*c^2*
d^2 - C*a*c^2*d^2 - B*b*c^2*d^2 + A*a*d^4)/((c^4*d + 2*c^2*d^3 + d^5)*(d*tan(f*x + e) + c)))/f

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.27, size = 948, normalized size = 3.25 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*tan(f*x+e))*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e))^2,x)

[Out]

1/f/(c^2+d^2)^2*C*arctan(tan(f*x+e))*a*d^2+3/f/(c^2+d^2)^2*ln(c+d*tan(f*x+e))*C*b*c^2+1/f/(c^2+d^2)/(c+d*tan(f
*x+e))*B*a*c+1/f/(c^2+d^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*C*a*c*d+2/f/(c^2+d^2)^2*d*ln(c+d*tan(f*x+e))*A*a*c-2/f/(c^2+d^
2)^2*C*arctan(tan(f*x+e))*b*c*d+1/f/d^2/(c^2+d^2)/(c+d*tan(f*x+e))*C*c^3*b+2/f/(c^2+d^2)^2*B*arctan(tan(f*x+e)
)*a*c*d-1/f/(c^2+d^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*A*a*c*d+1/f/(c^2+d^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*B*b*c*d-2/f/(c^2+d^2)^2*
d*ln(c+d*tan(f*x+e))*B*b*c+2/f/(c^2+d^2)^2*A*arctan(tan(f*x+e))*b*c*d+1/f/(c^2+d^2)^2/d^2*ln(c+d*tan(f*x+e))*C
*b*c^4-2/f/(c^2+d^2)^2*d*ln(c+d*tan(f*x+e))*C*a*c-1/f/d/(c^2+d^2)/(c+d*tan(f*x+e))*B*b*c^2-1/f/d/(c^2+d^2)/(c+
d*tan(f*x+e))*C*a*c^2-1/f/(c^2+d^2)^2*A*arctan(tan(f*x+e))*a*d^2-1/f/(c^2+d^2)^2*ln(c+d*tan(f*x+e))*A*b*c^2-1/
2/f/(c^2+d^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*A*b*d^2-1/f*d/(c^2+d^2)/(c+d*tan(f*x+e))*a*A+1/f/(c^2+d^2)^2*B*arctan(tan(f
*x+e))*b*d^2+1/f/(c^2+d^2)^2*d^2*ln(c+d*tan(f*x+e))*B*a+1/f/(c^2+d^2)/(c+d*tan(f*x+e))*A*b*c+1/f/(c^2+d^2)^2*d
^2*ln(c+d*tan(f*x+e))*A*b-1/f/(c^2+d^2)^2*C*arctan(tan(f*x+e))*a*c^2-1/f/(c^2+d^2)^2*ln(c+d*tan(f*x+e))*B*a*c^
2+1/2/f/(c^2+d^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*A*b*c^2+1/2/f/(c^2+d^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*B*a*c^2-1/2/f/(c^2+d^2)^2*
ln(1+tan(f*x+e)^2)*B*a*d^2-1/2/f/(c^2+d^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*C*b*c^2+1/2/f/(c^2+d^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*C
*b*d^2-1/f/(c^2+d^2)^2*B*arctan(tan(f*x+e))*b*c^2+1/f/(c^2+d^2)^2*A*arctan(tan(f*x+e))*a*c^2

________________________________________________________________________________________

maxima [A]  time = 0.50, size = 319, normalized size = 1.09 \[ \frac {\frac {2 \, {\left ({\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} c^{2} + 2 \, {\left (B a + {\left (A - C\right )} b\right )} c d - {\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} d^{2}\right )} {\left (f x + e\right )}}{c^{4} + 2 \, c^{2} d^{2} + d^{4}} + \frac {2 \, {\left (C b c^{4} - {\left (B a + {\left (A - 3 \, C\right )} b\right )} c^{2} d^{2} + 2 \, {\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} c d^{3} + {\left (B a + A b\right )} d^{4}\right )} \log \left (d \tan \left (f x + e\right ) + c\right )}{c^{4} d^{2} + 2 \, c^{2} d^{4} + d^{6}} + \frac {{\left ({\left (B a + {\left (A - C\right )} b\right )} c^{2} - 2 \, {\left ({\left (A - C\right )} a - B b\right )} c d - {\left (B a + {\left (A - C\right )} b\right )} d^{2}\right )} \log \left (\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1\right )}{c^{4} + 2 \, c^{2} d^{2} + d^{4}} + \frac {2 \, {\left (C b c^{3} - A a d^{3} - {\left (C a + B b\right )} c^{2} d + {\left (B a + A b\right )} c d^{2}\right )}}{c^{3} d^{2} + c d^{4} + {\left (c^{2} d^{3} + d^{5}\right )} \tan \left (f x + e\right )}}{2 \, f} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(c+d*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*(2*(((A - C)*a - B*b)*c^2 + 2*(B*a + (A - C)*b)*c*d - ((A - C)*a - B*b)*d^2)*(f*x + e)/(c^4 + 2*c^2*d^2 +
d^4) + 2*(C*b*c^4 - (B*a + (A - 3*C)*b)*c^2*d^2 + 2*((A - C)*a - B*b)*c*d^3 + (B*a + A*b)*d^4)*log(d*tan(f*x +
e) + c)/(c^4*d^2 + 2*c^2*d^4 + d^6) + ((B*a + (A - C)*b)*c^2 - 2*((A - C)*a - B*b)*c*d - (B*a + (A - C)*b)*d^
2)*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/(c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4) + 2*(C*b*c^3 - A*a*d^3 - (C*a + B*b)*c^2*d + (B*a + A*b)*c*
d^2)/(c^3*d^2 + c*d^4 + (c^2*d^3 + d^5)*tan(f*x + e)))/f

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 22.01, size = 1875, normalized size = 6.42 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(((a + b*tan(e + f*x))*(A + B*tan(e + f*x) + C*tan(e + f*x)^2))/(c + d*tan(e + f*x))^2,x)

[Out]

(log(c + d*tan(e + f*x))*(d^4*(A*b + B*a) - d^3*(2*B*b*c - 2*A*a*c + 2*C*a*c) - d^2*(A*b*c^2 + B*a*c^2 - 3*C*b
*c^2) + C*b*c^4))/(f*(d^6 + 2*c^2*d^4 + c^4*d^2)) - (log((A*B*b^2*d^4 - A*B*a^2*d^4 + B*C*a^2*d^4 + B*C*b^2*c^
4 - A^2*a*b*d^4 + B^2*a*b*d^4 + C^2*a*b*c^4 - A^2*a^2*c*d^3 + A^2*b^2*c*d^3 + B^2*a^2*c*d^3 - B^2*b^2*c*d^3 -
C^2*a^2*c*d^3 + C^2*b^2*c*d^3 + A*B*a^2*c^2*d^2 - A*B*b^2*c^2*d^2 - B*C*a^2*c^2*d^2 + 3*B*C*b^2*c^2*d^2 + A^2*
a*b*c^2*d^2 - B^2*a*b*c^2*d^2 + 3*C^2*a*b*c^2*d^2 - A*C*a*b*c^4 + A*C*a*b*d^4 + 2*A*C*a^2*c*d^3 - 2*A*C*b^2*c*
d^3 - 4*A*C*a*b*c^2*d^2 + 4*A*B*a*b*c*d^3 - 4*B*C*a*b*c*d^3)/(d*(c^2 + d^2)^2) + (tan(e + f*x)*(A^2*a^2*d^4 +
B^2*b^2*d^4 + C^2*a^2*d^4 + C^2*b^2*c^4 + C^2*b^2*d^4 + A^2*b^2*c^2*d^2 + B^2*a^2*c^2*d^2 + 3*C^2*b^2*c^2*d^2
- 2*A*C*a^2*d^4 - A*C*b^2*c^4 - A*C*b^2*d^4 - 4*A*C*b^2*c^2*d^2 - 2*A*B*a*b*d^4 - B*C*a*b*c^4 + B*C*a*b*d^4 -
2*A*B*a^2*c*d^3 + 2*A*B*b^2*c*d^3 + 2*B*C*a^2*c*d^3 - 2*B*C*b^2*c*d^3 - 2*A^2*a*b*c*d^3 + 2*B^2*a*b*c*d^3 - 2*
C^2*a*b*c*d^3 + 2*A*B*a*b*c^2*d^2 - 4*B*C*a*b*c^2*d^2 + 4*A*C*a*b*c*d^3))/(d*(c^2 + d^2)^2) + ((a*1i + b)*(B*1
i - A + C)*(A*a*d - B*b*d - C*a*d - 4*C*b*c + (tan(e + f*x)*(3*A*b*d^4 + 3*B*a*d^4 + 2*C*b*c^4 - 5*C*b*d^4 + 4
*A*a*c*d^3 - 4*B*b*c*d^3 - 4*C*a*c*d^3 - A*b*c^2*d^2 - B*a*c^2*d^2 + C*b*c^2*d^2))/(d*(c^2 + d^2)) + (d*(a*1i
+ b)*(4*c*d - c^2*tan(e + f*x) + 3*d^2*tan(e + f*x))*(B*1i - A + C))/(c*1i + d)^2))/(2*(c*1i + d)^2))*(A*a*1i
+ A*b + B*a - B*b*1i - C*a*1i - C*b))/(2*f*(c*d*2i - c^2 + d^2)) - (log((A*B*b^2*d^4 - A*B*a^2*d^4 + B*C*a^2*d
^4 + B*C*b^2*c^4 - A^2*a*b*d^4 + B^2*a*b*d^4 + C^2*a*b*c^4 - A^2*a^2*c*d^3 + A^2*b^2*c*d^3 + B^2*a^2*c*d^3 - B
^2*b^2*c*d^3 - C^2*a^2*c*d^3 + C^2*b^2*c*d^3 + A*B*a^2*c^2*d^2 - A*B*b^2*c^2*d^2 - B*C*a^2*c^2*d^2 + 3*B*C*b^2
*c^2*d^2 + A^2*a*b*c^2*d^2 - B^2*a*b*c^2*d^2 + 3*C^2*a*b*c^2*d^2 - A*C*a*b*c^4 + A*C*a*b*d^4 + 2*A*C*a^2*c*d^3
- 2*A*C*b^2*c*d^3 - 4*A*C*a*b*c^2*d^2 + 4*A*B*a*b*c*d^3 - 4*B*C*a*b*c*d^3)/(d*(c^2 + d^2)^2) + (tan(e + f*x)*
(A^2*a^2*d^4 + B^2*b^2*d^4 + C^2*a^2*d^4 + C^2*b^2*c^4 + C^2*b^2*d^4 + A^2*b^2*c^2*d^2 + B^2*a^2*c^2*d^2 + 3*C
^2*b^2*c^2*d^2 - 2*A*C*a^2*d^4 - A*C*b^2*c^4 - A*C*b^2*d^4 - 4*A*C*b^2*c^2*d^2 - 2*A*B*a*b*d^4 - B*C*a*b*c^4 +
B*C*a*b*d^4 - 2*A*B*a^2*c*d^3 + 2*A*B*b^2*c*d^3 + 2*B*C*a^2*c*d^3 - 2*B*C*b^2*c*d^3 - 2*A^2*a*b*c*d^3 + 2*B^2
*a*b*c*d^3 - 2*C^2*a*b*c*d^3 + 2*A*B*a*b*c^2*d^2 - 4*B*C*a*b*c^2*d^2 + 4*A*C*a*b*c*d^3))/(d*(c^2 + d^2)^2) + (
(a + b*1i)*(A + B*1i - C)*(A*a*d - B*b*d - C*a*d - 4*C*b*c + (tan(e + f*x)*(3*A*b*d^4 + 3*B*a*d^4 + 2*C*b*c^4
- 5*C*b*d^4 + 4*A*a*c*d^3 - 4*B*b*c*d^3 - 4*C*a*c*d^3 - A*b*c^2*d^2 - B*a*c^2*d^2 + C*b*c^2*d^2))/(d*(c^2 + d^
2)) + (d*(a + b*1i)*(4*c*d - c^2*tan(e + f*x) + 3*d^2*tan(e + f*x))*(A + B*1i - C)*1i)/(c*1i - d)^2)*1i)/(2*(c
*1i - d)^2))*(A*a + A*b*1i + B*a*1i - B*b - C*a - C*b*1i))/(2*f*(2*c*d - c^2*1i + d^2*1i)) - (A*a*d^3 - C*b*c^
3 - A*b*c*d^2 - B*a*c*d^2 + B*b*c^2*d + C*a*c^2*d)/(d^2*f*(c^2 + d^2)*(c + d*tan(e + f*x)))

________________________________________________________________________________________

sympy [A]  time = 4.10, size = 9721, normalized size = 33.29 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)**2)/(c+d*tan(f*x+e))**2,x)

[Out]

Piecewise((zoo*x*(a + b*tan(e))*(A + B*tan(e) + C*tan(e)**2)/tan(e)**2, Eq(c, 0) & Eq(d, 0) & Eq(f, 0)), (A*a*
f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - 2*I*A*a*f*x*tan(e + f*x
)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - A*a*f*x/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*
d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + A*a*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d*
*2*f) - 2*I*A*a/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - I*A*b*f*x*tan(e + f*x)**2/(
-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - 2*A*b*f*x*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*
x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + I*A*b*f*x/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) +
4*d**2*f) - I*A*b*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - I*B*a*f*x*t
an(e + f*x)**2/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - 2*B*a*f*x*tan(e + f*x)/(-4*d
**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + I*B*a*f*x/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*
f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - I*B*a*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*
f) - B*b*f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + 2*I*B*b*f*x*ta
n(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + B*b*f*x/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)*
*2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + 3*B*b*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e +
f*x) + 4*d**2*f) - 2*I*B*b/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - C*a*f*x*tan(e +
f*x)**2/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + 2*I*C*a*f*x*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f
*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + C*a*f*x/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e
+ f*x) + 4*d**2*f) + 3*C*a*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - 2*
I*C*a/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - 3*I*C*b*f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*d**2*
f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - 6*C*b*f*x*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 +
8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + 3*I*C*b*f*x/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**
2*f) - 2*C*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)**2/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4
*d**2*f) + 4*I*C*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x)
+ 4*d**2*f) + 2*C*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f)
+ 5*I*C*b*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + 4*C*b/(-4*d**2*f*tan
(e + f*x)**2 + 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f), Eq(c, -I*d)), (A*a*f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*d**2*f*tan(e +
f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + 2*I*A*a*f*x*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2
*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - A*a*f*x/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + A*a*t
an(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + 2*I*A*a/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)
**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + I*A*b*f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*
tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - 2*A*b*f*x*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**
2*f) - I*A*b*f*x/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + I*A*b*tan(e + f*x)/(-4*d**
2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + I*B*a*f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)*
*2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - 2*B*a*f*x*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(
e + f*x) + 4*d**2*f) - I*B*a*f*x/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + I*B*a*tan(
e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - B*b*f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*d**2*f
*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - 2*I*B*b*f*x*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 -
8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + B*b*f*x/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f
) + 3*B*b*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + 2*I*B*b/(-4*d**2*f*t
an(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - C*a*f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*
I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - 2*I*C*a*f*x*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f
*x) + 4*d**2*f) + C*a*f*x/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + 3*C*a*tan(e + f*x
)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + 2*I*C*a/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*
d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + 3*I*C*b*f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e +
f*x) + 4*d**2*f) - 6*C*b*f*x*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - 3
*I*C*b*f*x/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - 2*C*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*t
an(e + f*x)**2/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - 4*I*C*b*log(tan(e + f*x)**2
+ 1)*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + 2*C*b*log(tan(e + f*x)**2
+ 1)/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) - 5*I*C*b*tan(e + f*x)/(-4*d**2*f*tan(e
+ f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x) + 4*d**2*f) + 4*C*b/(-4*d**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*d**2*f*tan(e + f*x)
+ 4*d**2*f), Eq(c, I*d)), ((A*a*x + A*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*f) + B*a*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*f) -
B*b*x + B*b*tan(e + f*x)/f - C*a*x + C*a*tan(e + f*x)/f - C*b*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*f) + C*b*tan(e + f*x
)**2/(2*f))/c**2, Eq(d, 0)), (x*(a + b*tan(e))*(A + B*tan(e) + C*tan(e)**2)/(c + d*tan(e))**2, Eq(f, 0)), (2*A
*a*c**3*d**2*f*x/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*
c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*A*a*c**2*d**3*f*x*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*
x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 4*A*a*c**2*d**3*log(c/
d + tan(e + f*x))/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2
*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a*c**2*d**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*t
an(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a*c**2*d*
*3/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d
**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a*c*d**4*f*x/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d*
*5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 4*A*a*c*d**4*log(c/d + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2
*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f
*tan(e + f*x)) - 2*A*a*c*d**4*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x
) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a*d**5*f*x*tan(e +
f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2
*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a*d**5/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f
*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*b*c**3*d**2*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c**5*d**2*f +
2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x))
+ A*b*c**3*d**2*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2
*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*A*b*c**3*d**2/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*ta
n(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 4*A*b*c**2*d**
3*f*x/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f +
2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*b*c**2*d**3*log(c/d + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*t
an(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + A*b*c**2*d**3
*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d*
*5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 4*A*b*c*d**4*f*x*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**
4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*A
*b*c*d**4*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*
tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - A*b*c*d**4*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*c**5*d**2*f + 2*c*
*4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*
A*b*c*d**4/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6
*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*A*b*d**5*log(c/d + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*t
an(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - A*b*d**5*log(
tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*
tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*B*a*c**3*d**2*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c**5*d**2*f +
2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x))
+ B*a*c**3*d**2*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*
d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*a*c**3*d**2/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan
(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 4*B*a*c**2*d**3
*f*x/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2
*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*B*a*c**2*d**3*log(c/d + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*ta
n(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + B*a*c**2*d**3*
log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**
5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 4*B*a*c*d**4*f*x*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4
*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*
a*c*d**4*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*t
an(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - B*a*c*d**4*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**
4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B
*a*c*d**4/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*
f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*a*d**5*log(c/d + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*ta
n(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - B*a*d**5*log(t
an(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*t
an(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*B*b*c**4*d/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) +
4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*B*b*c**3*d**2*f*x/(2*c**
5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan
(e + f*x)) - 2*B*b*c**2*d**3*f*x*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*
c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 4*B*b*c**2*d**3*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c*
*5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*ta
n(e + f*x)) + 2*B*b*c**2*d**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d*
*4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*B*b*c**2*d**3/(2*c**5*d**2*f + 2*c
**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2
*B*b*c*d**4*f*x/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c
*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 4*B*b*c*d**4*log(c/d + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d
**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*b*
c*d**4*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c
**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*b*d**5*f*x*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2
*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) -
2*C*a*c**4*d/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d
**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*C*a*c**3*d**2*f*x/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4
*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*C*a*c**2*d**3*f*x*tan(e + f*x)/(2*c*
*5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*ta
n(e + f*x)) - 4*C*a*c**2*d**3*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**
4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*C*a*c**2*d**3*log(tan(e + f*x)**2 +
1)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*
d**7*f*tan(e + f*x)) - 2*C*a*c**2*d**3/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d*
*5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*C*a*c*d**4*f*x/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(
e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 4*C*a*c*d**4*log
(c/d + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*
tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*C*a*c*d**4*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**
5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan
(e + f*x)) + 2*C*a*d**5*f*x*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*
d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*C*b*c**5*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c**5*d**2*f
+ 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)
) + 2*C*b*c**5/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*
d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 2*C*b*c**4*d*log(c/d + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d*
*3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 6*C*b*c
**3*d**2*log(c/d + tan(e + f*x))/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*t
an(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - C*b*c**3*d**2*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*c**5*d**2*f + 2*
c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) +
2*C*b*c**3*d**2/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c
*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 4*C*b*c**2*d**3*f*x/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d*
*4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + 6*C*b*c**2*d**3*log(c/d + tan(e + f*
x))*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*
c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - C*b*c**2*d**3*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**
4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) - 4*C
*b*c*d**4*f*x*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e +
f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + C*b*c*d**4*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3
*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)) + C*b*d**5*
log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*c**5*d**2*f + 2*c**4*d**3*f*tan(e + f*x) + 4*c**3*d**4*f + 4*c**2*d**
5*f*tan(e + f*x) + 2*c*d**6*f + 2*d**7*f*tan(e + f*x)), True))

________________________________________________________________________________________